随机变量及其分布|随机变量及其分布

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一、随机变量的概念
    前一章建立了随机事件及其概率的概念。我们发现有些试验的结果，直接表现为数量。比如，在抽样检验产品中，出现废品的个数；在供电问题中，人们关心的是在某段事件内，同时工作的车床数目；射击时弹着点与目标的距离等。尽管有些试验的结果没有直接表现为数字，但我们仍然可以用数字来表示它。比如，一次试验中，试验成功记为1，试验失败记为0；产品检验中，优质品记为2，次品记为1，废品记为0等等。由此可见，对于任何一个试验的各种基本结果，都可以用数量与之对应。
    尽管由于随机因素的作用，试验的结果有多种可能性，但是对于试验的每一个结果ω，都可以用一个实数x(ω)来表征:试验的结果不同,x(ω)可能取不同值,因而是一个变量,故x(ω)是试验结果的函数.我们称这种变量x(ω)为随机变量,简记为x.
    随机变量作为样本点的函数，有两个基本特点，一是变异性：对于不同的试验结果，它可能取不同的值，因此是变量而不是常量；二是随机性：由于试验中究竟出现哪种结果是随机的，因此该变量究竟取何值是在试验之前，事先无法确定的，直观上，随机变量就是取值具有随机性的变量。
    根据取值情况随机变量可以分为两大类：离散型和非离散型。离散型随机变量的所有可能取值为有限个或至多无穷可列个；非离散型随机变量的情况比较复杂，它的所有可能取值不能够一一列举出来。其中的一种对于实际应用最重要，称为连续型随机变量，其值域为一个或若干个有限或无限区间。今后我们主要研究离散型和连续型两种随机变量。
二、离散型随机变量的概率分布
    定义2.1：如果随机变量x只可能取有限个或至多可列个值，则称x为离散型随机变量。
    定义2.2：设x为离散型随机变量，它的一切可能取值为x1，x2，……，xn，……，记
                   p=p｛x=xn｝,n=1,2……(2.1)  
    称(2.1)式为x的概率函数，又称为x的概率分布，简称分布。
    离散型随机变量的概率分布有两条基本性质：
    (1)pn≥0    n=1,2,…
    (2)∑pn=1
    对于集合｛xn,n=1,2,……｝中的任何一个子集a,事件“x在a中取值”即“x∈a”的概率为
     p｛x∈a｝=∑pn
    特别的，如果一个试验所包含的事件只有两个，其概率分布为
    p｛x=x1｝=p(0<p<1)
    p｛x=x2｝=1-p=q
    这种分布称为两点分布。 如果x1=1,x2=0,有
    p｛x=1｝=p
    p｛x=0｝=q
    这时称x服从参数为p的0-1分布，它是离散型随机变量分布中最简单的一种。由于是数学家伯努利最先研究发现的，为了纪念他，我们也把服从这种分布的试验叫伯努利试验。习惯上，把伯努利的一种结果称为“成功”，另一种称为“失败”。
三、连续型随机变量的概率密度
    定义2.3  对于随机变量x，如果存在一个非负可积函数f(x),-∞<x<+∞，使对于任意两个实数a，b(a<b)都有
    p｛a<x<b｝=f(x)在a,b区域内的定积分   (由于排版水平过于低下，只有这样了，^o^)
    则称x为连续型随机变量，称f(x)为x的概率分布密度函数，简称概率密度或分布密度，简记为x～f(x).
    (1)f(x)≥0，对任何x∈(-∞，+∞)
    (2)f(x)在(-∞，+∞)的区间内积分为1.
    定义2.4  如果连续型随机变量x的概率密度f(x)为
       ①1/(b-a)      a≤x≤b
       ②0            其他
    则称x服从区间[a,b]上的均匀分布。
    由定义可以看出服从均匀分布的随机变量，其概率密度函数在整个区间[a,b]上恒等于一个常数，并且这个常数就是该区间长度的倒数1/(b-a)。均匀分布是连续型随机变量中最简单的一种分布，也是常用的重要连续型分布之一。
四、随机变量的分布函数
    离散型随机变量由其一切可能值和它取各个值的概率来描绘，连续型随机变量由概率密度函数来描绘。离散型和连续型，是实际中最重要的两类随机变量。但是除这两类随机变量外，还存在既不是离散型也不是连续型的随机变量。分布函数是概率论中重要的研究工具，它可以用于描绘包括离散型和连续型在内的一切类型的随机变量。

    定义2.5  设x是任意一个随机变量，称函数
        f(x)=p｛x<x｝,-∞<x<+∞
    为随机变量x的分布函数。
    f(x)包括下列性质：
    1，0≤f(x)≤1  (-∞<x<+∞)；
    2，f(x)是x的单调不减函数；
    3，f(-∞)=lim(x→-∞)f(x)=0, f(+∞)=lim(x→+∞)f(x)=1；
    4，f(x)至多有可列个间断点，并且在其间断点处也是右连续的，即对于任何实数x,
       f(x+0)=f(x) 
五、随机变量的概率分布密度函数和分布函数的联系
    1，对于离散型随机变量，p｛x=xn｝=pn,n=1,2,……
       有f(x)=∑pn  (xn≤x)
    2，对于连续型随机变量，p｛x=xn｝=pn,-∞<n<+∞ 
       有f’(x)=f(x)

注意要点：1，离散型分布和连续型分布的区别；
          2，概率密度函数与分布函数的联系与区别。

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