【实物期权在投资决策中的应用】实物期权在R&D项目投资决策中的应用研究

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      摘要：本文首先对过去几十年来实物期权方法应用研究进展进行了回顾和总结，并指出了目前在实物期权方法应用中经常出现的一些模糊概念和误用的问题。通过一些实例的分析和讨论，对现有的一些研究结论提出了质疑，指出：由于问题构模及参数定义上的差异，一些在金融期权中成立的定理，如期权价值随着波动率增加、无风险利率增大或期权期限延长时，是递增的这一规律对于实物期权的而言可能会失效。并以实物期权在企业r&d投资项目中为例，对这一问题以及与之相关的实物期权构模和参数选择等问题进行了详细深入的讨论和分析。文章还在对penning and lint（1997）及agliardi elettra（2003）等人的结果扩展的基础上，给出了当波动率、无风险利率和期权持有成本为时变函数的条件下四种复合期权的解析解，并利用数值计算结果证实了作者的观点。
关键词：实物期权，r&d项目投资决策，复合期权，geske公式，二项式模型；

1 引言
随着经济和科技的迅速发展，资本投资的风险和不确定性也大大增加，由于投资决策失误所产生的后果也越来越严重，这就对资本投资决策分析提出了更高的要求。已有大量的文献指出，以npv为代表的传统的现金流量分析资本预算方法存在着很多缺点，尤其是在风险和不确定性条件下，传统的资本预算方法容易导致错误的决策。 为解决这一问题，近二十年来，实物期权方法得到了很大的方展。然而，由于实物期权的计算复杂，参数估计也更加困难，目前在使用中仍存在较高难度和问题。而且，有时为了能够方便套用金融期权模型的计算公式，出现了一些过于简单和错误的构模，也对实物期权方法的应用带来“不实用”、“难于理解”等不良影响。

本文首先对实物期权的研究文献进行了回顾，重点就实物期权方法在r&d项目投资决策中的应用进行了分析探讨，指出了当前在实物期权方法应用中的经常存在的问题和错误。本文重点讨论的一个问题是，对实物期权而言，金融期权的一些重要性质：如当波动率增加、或无风险利率增大或期权期限延长时，期权价值是递增这一规律是否仍然成立？一些文献对此是肯定的，也有一些文献对此点的说法是模糊和模棱两可的，本文通过分析讨论和数值例子给出了明确的答案。即由于问题构模不同及参数定义上的差异，一些对于金融期权成立的定理，例如当波动率增加、无风险利率增大或期权期限延长时，期权价值是增加的这一规律对于实物期权的应用而言并非总是成立，实际上，对r&d一类项目而言，其结论恰恰是相反。

本文还通过对penning and lint（1997）及agliardi elettra（2003）等人的结果扩展，推导出了当波动率、无风险利率和期权持有机会成本为时变函数的条件下复合期权的公式解，并给出了数值计算结果。使得实物期权方法能够更加符合企业多阶段分步投资项目决策分析的需要。文章通过一个实例的深入细致分析，对实物期权方法在r&d项目投资决策应用中的参数设定，计算过程和敏感性分析过程以及相关问题的分析进行了深入讨论。这些分析讨论和数值计算结果均对作者上述的观点提供了支持。 由于r&d 投资项目较一般企业投资项目具有更高的不确定性和风险，并且是典型多阶段分步投资项目，因此本文的研究及结论，对其他类型的企业投资项目或经营决策项目也有着重要参考价值。

本文的论述结构如下：第1部分为引言；第2部分简要讨论了实物期权的概念及文献研究综述；第3部分是讨论了如何将实物期权方法与传统的dcf方法和npv指标结合起来的问题；第4部分是对现有的关于实物期权构模和求解方法的一个简要归纳和总结；第5部分是通过对一个r&d 投资项目案例的详细分析和问题讨论，提出和验证了作者的观点和看法，并给出了复合期权在时变参数下的扩展geske公式解及证明；第6部分是结论和本文的总结。

2 实物期权的概念及文献研究综述

2．1 实物期权的概念
金融期权是赋予持有者在未来某一时刻买进或卖出某种金融资产的权利，相应地称之为买入（看涨）期权或卖出（看跌）期权，该金融资产称之为标的资产。实物期权是把非金融资产当作标的资产的一类期权，此时期权的交割不是决定是否买进或卖出金融资产而是进行实物投资或出售固定资产。

实物期权的应用，最早可以追溯到古希腊时代。亚里斯多德在其著作中曾讲述了这样的一个故事：希腊“七贤”之一的泰利斯(公元前624?-546?年)在橄榄收获季节的半年之前，花费很少的钱与那些拥有橄榄榨油机的老板达成一笔交易，使他能够获得以平价的租金优先取得租用这些榨油机的权利。当橄榄丰收之后，橄榄种植者们对榨油机的需求剧增，泰利斯就以高于正常的租金将这些榨油机租借给橄榄种植者们，而他仅向榨油机的老板支付原来约定的平价租金。泰利斯从中赚取利差，因而获得了丰厚的收益。如果橄榄歉收，泰利斯则可以放弃行使租用这些榨油机的权利，而结果只会损失很少的一笔定金。在这个故事中，泰利斯购买的是租用这些榨油机的权利，而不是责任和义务。这就是一个古老而典型的实物期权的例子。

实物期权在持有在未来特定的某一天以预定的成本去采取特定的行动（例如：延迟、扩张、缩减、放弃）的一种权利，而非义务。由于具有这种采取行动的权利，因此就有了一种决策上的弹性。与一般的金融期权同样，实物期权的价值主要受到以下六个变量的影响，又称为六个杠杆（变量）。因此，可以通过拉动这六个杠杆来提高实物期权的价值 (copeland, 2001)：

杠杆1 增加项目预期收益现值：比如，在市场出现供不应求时，提高产品产量或提高产品销售价格而增加销售收入；
杠杆2 减少项目预期费用现值：比如通过提高规模经济性，或通过协作和联合降低市场竞争；
杠杆3 增加项目预期价值的不确定性，从而进一步增加了灵活性的价值；这是与净现值分析方法的重大差异；
杠杆4 延长投资机会的持续时间以提高期权价值。因为它增加了整体的不确定性和灵活性；
杠杆5 等待交割以减少价值损失 在金融期权中直到红利支付后都是等待的成本(红利降低了股票价值因此也降低了期权的报酬) ;
杠杆6 提高无风险利率，一般而言，任何对无风险利率上升的预期都会增加期权的价值尽管它因为减少了交割价格的现值而对净现值产生了负效应。

实物期权的应用范围很广，如各种类型的项目投资决策、企业价值评估、技术和无形资产价值评估、创业企业和风险投资评估等等，本文的讨论主要围绕企业r&d投资项目决策为中心。

2．2 实物期权的文献研究综述

对于实物期权的研究是伴随着对以npv法为代表的传统投资决策的dcf 评价方法（以下简称dcf或npv法） 的否定而发展起来的。这正如avinash k. dixit 和robert s. pindyck所指出的：传统的npv法建立在两个错误的假设之上，该方法假设投资要么是可逆的，要么是不可逆的（也就是说公司现在不投资，以后再也没有机会）。然而，事实上，很多投资机会不满足上述两种假设，在大多数情况下，投资是不可逆的，但是可以被推迟。投资可以被推迟的特性显然使净现值法失去了作用。拥有某种投资机会的公司就像是拥有某种金融看涨期权：它有权力但却不负有义务在它确定的将来某一时刻购买一种资产。传统的npv法的另一个问题是它忽略了创造的期权的价值。有时，当把一项投资孤立起来评价时，它并不经济，但是它产生了一个期权，使公司可以在市场条件有利的时候进行投资。”在现实世界里，当获得了新的信息或者市场的不确定性得到解决后，原来期望的现金流就有可能会实现。管理者可以根据新出现的信息改变运营战略，以使未来潜在的收益最大或者减少损失。管理者的这种灵活性—比如说延迟，缩小，扩大或放弃其运营战略，增加了期望现金流现值npv的价值。

目前，有关实物期权的研究文献十分繁多，限于篇幅，本文这里仅列举其中的一部分，并按照文章内容及发表时间和与按属性特点区分两个层面做一归纳。

从文章发表时间上来看，早期的研究可追溯到上世纪50年代，就有人指出传统投资决策的dcf 评价方法会低估投资机会的实际价值，如 dean（1951）和后来的hertz（1964），magee（1964）， hertz（1964）与magee（1964），hayes & abernathy（1980）等人都提议应用模拟方法及决策树分析法来考虑管理弹性的价值，以避免采用错误的评价技术。hodder & riggs（1985）及hodder （1986）也表示拥护这项观点，并指出在公司投资决策实务上普遍误用dcf 法的问题 。

mechin & berg（1980）则认为采用roi 或dcf 评估方法在企业面临不确定环境与目前的投资在未来将会获得意外的收获（副产品）价值的评估上是无效的。

hayes & garvin（1982）根据历史统计数据指出：使用dcf 评估方法的公司比例从1959 年的19% 增加到1975 年的94% ，但却使得公司在r&d 费用和资本投资上逐年下降，其原因就是因为dcf 评估方法的准则常会低估投资机会的价值，而导致决策者的短视，造成投资不足，最后可能导致丧失企业竞争力。

donaldson & lorsch（1983）的文章也认为，因为过去的财务理论过于依赖dcf 评价方法，使得财务理论与现实世界中的企业实务层面出现了分歧的现象。

针对折现dcf 评价方法存在的不足，ross(1978)指出，风险项目潜在的投资机会可视为另一种期权形式——实物期权，并由此引发了对实物期权估价理论的深入探讨。

myers（1977，1984）最先提出来将期权定价理论应用到r&d项目价值评估上，他认为，研发的价值几乎就是期权的价值，因此，用传统的评价工具如npv 法来评估研发项目将导致战略错误。

kester（1984）也是较早提出用实物期权法评估r&d 投资项目的人之一，他指出r&d 投资项目如同一个买入期权的成长一样，其r&d 投资方案的潜在价值是被不确定性、投资递延及利率所影响，并指出期权评价模式比dcf 评价模式更适用于r&d 投资。

kaplan（1986）以cim投资为例，并观察得出dcf 评估方法使用于具有获得无形资产价值（管理弹性，学习效果等）的投资评估上是无效的。

trigeorgis and manson（1987)　指出，在传统之npv或dcf法中是事前对未来的现金流量做估计并假设为不变或静态的，因此无法衡量未来当不确定因素存在时，而采取修改或递延决策而带来的管理弹性。所以就不确定性环境下的投资分析而言，以npv 法评估投资方案可能会得到一个有偏误的结果。

brealey & myers（1988）建议将期权定价理论应用于r&d 投资方案的评价上，他们发现dcf 法完全无法评估r&d 投资方案，而r&d 投资项目与买入期权极其类似，亦即r&d 投资给予企业在未来一定的时间内一个权利，决定是否执行这项r&d 投资项目，届时如果研发成功，可为企业创造价值，但若研发失败，企业损失的仅是有限的最初r&d 投资费用，所以r&d投资费用可视为此期权的权利金。　

mitchell & hamilton （1988）将r&d 分为三种类型，并建议使用dcf 法在短期的商业投资评价上，最高层次的方案像”创建一门学问” 不需要应用任何方法来评价，而r&d 一类的中期决策称之为”策略定位”就类似于买入期权决策。

paddock, siegel & smith （1988）探讨沿海石油权的评价，将采矿权的评价以复合期权的方式来建构评价模型，并与传统dcf 评估法加以对比，对其特点及优劣进行了比较。

sharp（1991） 认为期权定价法对于高风险投资的评价较dcf 法好，并建议不要使用b-s model 来计算价值和做结构上的建议。先用一般dcf 法计算npv 再用期权理论以三个步骤来估计附加价值：
（1） 确认明确的潜在期权并加以分类。
（2） 分析环境的不确定性在期权可能被执行下的情况。
（3） 估计价值的总和。

nichols（1994）运用期权分析法在merck 公司，merck 的cfo 认为使用期权可以比传统的财务分析法提供更多的弹性来评估研究投资，因为它可以评估连续分阶段的投资方案。

pindyck and dixit (1995)认为传统投资决策准则假定投资决策必须在特定时间点上进行，这样会导致产生很高的机会成本，而且忽视了选择延迟决策方式所创造的价值，使得企业暴露在极高的风险下，导致净现值计算错误，进而使整个投资决策产生错误。而事实上，投资项目可以等待更多的信息出现后，再进行投资决策。

trigeorgis（1996）认为传统评价理论已经与真实世界的现实面出现了差异，dcf 法无法适切的捕捉住管理者对于未预期的变化所做出回应的决策弹性，所以公司的决策阶层通常会将营运策略的管理弹性视为价值的增加，主动地将其加入到传统评价模式所估算得出的结果中。

perlitz , peske & schrank （1999）以评价r&d 投资方案为例，说明以npv 模式来评估r&d 投资方案确实会低估投资项目的价值，因为：
（1） npv 模式需要衡量折现率，所以在衡量风险性较高的r&d 投资项目时，会因为加入风险溢价而增加折现率，因而降低了投资方案的价值。相对的，期权评价模式的折现率为无风险利率，以其衡量高风险性的r&d 投资方案时，会因高波动而增加投资方案的价值。
（2） 当投资期间较长时，期权评价模式能因经济情况的改变而修正其投资决策，但传统npv 模式则无法衡量其管理弹性。

对于perlitz , peske & schrank的观点，本文后面还将要加以讨论。

我们将目前已经发表论文中的有关实物期权类型、含义与应用范围加以整理，如表2-1所示。
表2-1 实物期权类型、含义与应用范围和文献对照




从表2-1的归纳结果可以看出， 实物期权的属性主要是美式期权。

从实物期权的应用及与金融期权的对应关系上来看，我们将实物期权与金融期权价值评估中参数的含义做一对照比较，见表2-2所示。

表2-2 实物期权与金融期权比较分析表


在本文中，我们将决策树法也归为传统的dcf法一类，但严格说来，决策树法的分析方法应是介于传统的dcf法与实物期权法之间的，决策树法克服了传统的dcf 法采用同一个风险调整系数去做折现的问题，可以分阶段灵活选用不同的折现率。表2-3给出了传统的dcf法、决策树法和实物期权法的一个比较。

表2-3 传统的dcf法、决策树法及实物期权法的比较


3 传统的dcf方法和npv指标已经不再需要了吗？
本文前面提到的（还有许多未提到的）大量的关于实物期权及相关文献的研究几乎都一致指出，以npv为代表的传统的资本预算方法的不适用性，并且会容易导致错误的投资决策。这似乎给人一种错觉：以npv为代表的传统的资本预算方法已经过时，不再适用了。然而作者认为，这只是一种误解，而事实上并非如此：实物期权方法的提出，并不意味着传统的npv和dcf方法不再需要了，而实际上，实物期权方法必须要配合npv指标才能加以使用。实物期权方法并不能够完全取代npv指标，而只是作为传统的资本预算npv方法的一个补充和修正。下面，我们通过一个实际例子来进行说明这一点。

例1．假定一个投资项目需要初始投资1200万元，项目投资基准折现率为10%， 该项目的预期收益现值为1150万元，因此，npv =1150-1200 = -50万元。因为npv为负值，按照传统的投资决策分析方法，该项目应予以舍弃。

如果运用实物期权方法进行分析，根据表2-2，可按照如下方法进行参数设定：标的资产价值v=项目的预期收益现值1150万元，期权执行价格=项目初始投资1200万元，无风险利率取基准折现率为10%，并需要进一步给定标的资产价值v即项目的预期收益现值的波动率，这里我们假定为30%， 期权到期期限t为两年。分别采用后面第4节中介绍的计算期权价值的b-s-m模型公式和二项式模型，利用excel，可计算得出该投资项目的实物期权价值为274.87万元。

实物期权价值大于零，这是否意味着项目就可以接受并进行投资了呢？答案是否定的。原因很简单， 这里的实物期权价值的274.87万元，并非是马上投资项目就能够产生的，而是恰恰相反，是来自于延迟投资。即在上述实物期权的价值评估中，做出了这样的一个假定，即投资者可将该项投资延迟至最长期限为两年之内的任意时刻进行，正是由于具有了这种灵活性和选择权利，因此才具有了价值。该价值为正值是意味着：我们应当持有进行投资该项目的权利、进行等待和观望，而不应简单地抛弃该项目；但这绝非意味着该项目可以接受或马上可以进行投资。实际上，如果我们将期权到期期限t分别减少至为1年或1天，即意味着比原来的假定提前进行项目投资，重新进行实物期权价值计算，结果正如表3-1所示，其实物期权价值分别降至为167.81万元和0.02万元。这是意料之中的结果，因为减小了投资的灵活性和选择权力，其价值也必然会减小。

表3-1 期权评价的bs模型和二项式模型的计算结果


当考虑了延迟投资时的实物期权因素后，此时的不确定性条件下的投资决策准则应为：
项目调整后的净价值 = npv + 项目实物期权的价值≥ 0

不难得出，如果接受该项目并马上进行投资，结果只会导致投资项目的净收益为0.0 - 50 = - 50.0万元，这意味着这种投资决策产生了负50万元的即刻价值损失。根据上式，我们直接可以得出，该项投资应当至少推迟两个半月（74天），等待新信息的到来，才可能避免造成投资价值损失。

从以上的分析结果可以看出，如若不考虑npv指标，仅根据项目的实物期权的价值计算，则无法对项目投资决策做出正确的判断。

根据实物期权的性质，我们不难可以总结出运用实物期权方法进行投资决策的准则如表2-3、表2-4所示：

表2-3、 买入（看涨）期权的决策分析


这里选择进行继续等待与按照期权价格出售转让投资机会的效果是等价的，而选择执行或放弃的选择准则是：凡是在以合理的成本花费就可以拥有继续等待的机会和权利的话，就应首先选择前者。

表2-4 卖出（看跌）期权的决策分析


其中，表2-3中的买入（看涨）期权主要用于项目投资决策分析；而表2-4中的卖出（看跌）期权则是指收缩或放弃的期权，主要用于企业的经营活动决策分析。 不难看出，运用实物期权方法进行投资决策必须要配合npv指标方可加以使用，实物期权方法只是作为对传统的资本预算方法npv指标的一个补充和修正。在很多情况下，实物期权的价值高低尚不足以满足投资决策的需要，判断是否进行投资，还需要通过考察项目的npv指标，和动态规划来判断等待的最佳停止点即最佳投资时机。当npv为正时，期权价值愈小愈表明应当立即进行投资，期权价值愈大则说明应当等待和推迟投资。当期权价值大于npv时，除非必须通过投资才能维持期权存在的条件下，才应当马上投资，且投资额必须满足小于期权价值扣除其他价值损失的剩余，如负的npv，否则，就应延期进行投资。

然而，这里的讨论一点也并不否定实物期权的价值。实物期权概念的引入的根本价值是在于：将传统的资本预算方法npv指标的二值判断：投资或不投资扩充到三维选择：即现在马上投资、采取措施保留在今后投资的权利和根本不投资。正是这种三个维度的选择才使得决策者开始关注最佳投资时机问题，从而更加有利于决策者对投资决策时机做出更好更有效的把握。

4 实物期权构模和求解方法

上节中我们给出了一个运用实物期权方法进行项目投资决策的一个简单例子，在本节里，我们将对应用实物期权方法对r&d一类的复杂投资项目决策中的应用，包括构模和求解分析，并对实物期权的主要计算方法做一简要总结和回顾。

4 .1 r&d项目的投资决策分析
研究与开发(r&d)是实施企业长期战略的重要组成部分,因而合理评价r&d项目投资至关重要。在当今新技术飞速发展的时代背景下，r&d项目，特别是高技术企业的r&d项目具有期限长、不确定性因素多、变化程度剧烈的特点，因而具有极高的不确定性。正如前面众多文献已经指出的：传统的dcf评价方法由于无法考虑投资弹性和经营决策的灵活性，已无法胜任对高技术r&d项目价值的评价，运用实物期权方法对r&d项目投资决策进行分析就成为了必然选择。

一个r&d项目往往是由一系列不同的阶段组成的：研究开发阶段(包括基础研究阶段、原型开发和测试阶段等)与市场化阶段(包括建造生产工厂阶段和市场营销阶段等)，在每一个阶段，管理者都有延迟、放弃、扩大投资和生产等权利，即包括一个以上的实物期权，其价值实质上是一个多变量、多目标、多阶段的复合期权的价值。因此，应用实物期权方法评价r&d项目的价值具有明显的优越性。

为不失一般性和简单起见，我们不妨将r&d项目分为三个阶段：初始研发阶段、中试阶段和市场化开发阶段。因为市场化开发投资是在项目中试阶段成功结束之后开始的， 如果中试阶段不成功．将不进行市场化开发投资；而中试投资又是在r＆d研发阶段成功结束之后开始的，如果产品研发不成功．则不进行中试投资投资，此时，该r＆d项目的损失仅为r＆d项目t = 0时的初始投资 。在决定是否进行中试投资时刻τ，人们将会进行一个判断和选择：该项研发成果是否值得进行中试投资？类似地，在产品市场化开发投资时刻 ，人们又会进行一个判断和选择：即该项产品是否还有进行市场化开发投资的价值？它是否可带来预期的投资回报？ 从上述分析．我们可将r&d投资决策可看作是一系列复合买入（看涨）期权： 为项目的寿命终止时间。在该项目投资过程中，决策者需要在三个关键的决策点上做出决策：一是在项目开始时，即图中的t = 0 时刻决定是否投资 进行研发活动，以获取进一步开发投资的权利；二是在研发活动取得成功时，即图中的τ时刻决定是否投资 进行中试活动，以获取进一步进行市场化开发的机会和权利；三是在中试活动取得成功时，即图中的 时刻决定是否投资 进行进行市场化开发活动，以实现产品上市和获取产品销售收益。从上图分析我们可以看出，在市场化投资阶段 ，企业可以根据市场的实际条件决定是否延迟或者放弃投资机会等权力；同时，由于在初始研发阶段的投资，使企业拥有了在市场化阶段投资的权利，因此，r&d项目投资决策与典型的复合买入期权完全吻合，复合买入期权的执行价格是市场化开发投资，中试投资是标的资产的执行价格。


实际上，r＆d项目除了由阶段化投资所构成的实物期权之外，对项目不同融资结构和融资方式的选择以及在市场化阶段企业的各种经营决策：如增产、扩张、联合、转产、停产等，也具有相应实物期权特征。

如果采用传统的投资决策分析方法分析r&d项目投资决策，对于投资弹性的处理可看作为一系列序贯投资决策，并采用决策树法进行求解。下面我们用一个例子加以说明。

例2．这里我们引用copeland给出的一个例子，如图2所示。它是一个典型的r＆d项目两阶段投资决策问题。

图4-2 将r&d研发项目视为序贯投资决策的决策树图

这里，r&d研发阶段的成功率分别为：得到最佳产品：10%；得到普通产品：10%；和80%的失败可能性。第二阶段的中试成功和失败的概率分别为40%和60%。我们假定企业的投资基准折现率为10%，应用决策树法，可计算得出该项目投资的期望npv= -21.5 万元。见表4-1所示。因为npv为负值，该项目应予以舍弃。

表4-1 决策树法的计算结果


我们如果应用实物期权方法分析这个问题，因为本例是一个复合期权问题， 不能采用基本b-s模型进行求解，因此我们采用后面第４部分中介绍的复合期权geske公式进行求解。为了能够计算期权价格，我们还需要进一步提供项目预期收益现值波动率的数值，在此我们不妨假定其为50%，利用geske公式，可计算得出该r＆d项目的实物期权价值为183.8万元，扣除项目的初始投资 =150万元后，得出含有实物期权的npv=33.7万元, 这意味着该项投资具有33.7万元的超额价值，因此该项目值得进行投资。

注意这里与例1的不同在于，如果不进行r&d的初始投资，则项目后来的期权就不存在。因此在这个意义上，对于r&d项目而言，若期权价格大于r&d的初始投资，就可以马上进行投资，并意味着该投资能够获取超额价值。但是否当前就是符合投资收益最大化的最佳投资时机，仍然是不能肯定的。这需要根据对期权价值的动态分析来进一步确定。mcdonald and siegel（1986）给出了最佳投资时机的判别准则，dixit，and pindyck（1994）对此也有专门的讨论。本文在这里不再展开。

4．2 实物期权的求解方法

实物期权的求解主要是利用一些现有的金融期权评价模型和方法成果。为了便于本文后面的分析和讨论，我们有必要将目前有关期权评价模型和方法的研究在此做一简要的归纳和总结。

一般地，金融期权评价模型可分为三大类型：第一类称之为解析解或公式解，如：b-s(black-scholes option pricing model)公式和计算复合期权的geske公式；第二类为数值分析法，它是利用计算机的快速运算来得出期权理论价格，如二项式期权评价模型(bopm)、蒙特卡罗模拟法等；第三类为近似计算模型，如b-a-w (barone, adesi and whaley)的美式期权模型等。下面分别进行介绍。

4．2．1 解析模型

b-s 模型是解析模型或公式解的典型代表。b-s 评价模型是由两位美国财务经济学家布莱克(fischer black)及舒尔斯(myron schoes)于1973 年联合提出的。此模型被认为奠定了衍生性商品快速发展的基础。舒尔斯因此而获得了1997 年的诺贝尔经济学奖。b-s 模型目前已成为用来评价期权合理价格的衡量标准。将b-s 模型运用于分析实物期权时，则具有下列限制：

（1） b-s模型属于针对欧式期权作评价，相对于实物期权大多属于美式期权，故b-s模型的计算结果只可作为其下界。
（2） 假定资产价值波动率固定不变，以及标的资产的价值为正态分布，这可能与实际状况不同。
除去这些在理论上的限制，b-s 模型有着许多实用上的优点：
（1） b-s 模型较简易，便于决策者应用，决策者只要将决策问题简化，归纳出需要设定的变量，便大致上可得出所需要的答案，因此，非常具有实用价值。
（2） b-s 模型很容易与传统的npv评估方法比较：由于b-s 模型应用在实物期权问题上，和传统npv 分析法所需的重要变量，如现金流出、流入是相同的，透过两者的比较，可对决策者的应用或参考具有重要实用价值。

merton对 b-s模型进行了扩展，考虑了股利因素的影响（在实物期权中，股利相当于期权的持有成本）。建立了b-s-m模型，其数学表达式如下：


对前面例1问题，我们有：vt = 1150， x=2000，t-t = 2年 r =10%，δ = 0。 将这些数据代入b-s-m模型，便可得出期权价格及相关其他参数，参见表3-1所示的结果。对于实物期权的求解，除了期权价格之外，下面的5个参数也是非常重要的，因为它可以我们提供一些非常重要的关于期权价格变化敏感性的信息，它们的含义是：


因为对于r&d项目通常需要采用复合期权模型进行构模和评价，因此，我们下面重点对复合期权评价模型进行讨论。

4．2．2 复合期权评价的geske公式

复合期权是指以期权为标的资产的期权，即为一种期权的期权（option on option）。此种期权的买方在期初支付期权费用后，即取得在未来某特定时点以约定的价格买进另一固定到期日的期权，这样总共有：对标的买权的买权（call on call）、对标的买权的卖权（put on call）、对标的卖权的买权（call on put）以及对标的卖权的卖权（put on put）等四种复合期权。

以复合期权对标的买权的买权为例，其到期价值为 c = max [ c(v, x, τ ) – m，0] ，其中：x是标的买入期权的执行价格，m 是复合买入期权的执行价格，其中c(v，x，τ), 是在复合买入期权到期日依据b-s 一般定价公式所决定的标的买入期权价值，标的买入期权的执行价格为x，到期时间为τ。

geske（1979）应用风险中立评价法得到一个连续时间条件下的复合期权的基本偏微分方程，并给出了公式解，对于买权的买权，其求解计算表达式如下：



这里，当标的期权为买权，则η=1，标的期权为卖权时，则η=-1；当复合期权为买权，则φ=1，复合期权为卖权，则φ= -1。其他参数与原来保持不变。

对前面例2，我们有：η=1，φ=1， v = 0.08´165/1.12， m = 0.08´130 ， x =0.2 ´ 5，t = 2年, τ = 1年 r =10%，σ= 50% , δ = 0。将这些数据代入geske公式，（注意，r＆d项目的初期投资，并不包含在期权计算公式之内），由此可得出期权价格=183.8万元，这相当于满足交易公平条件下，获取未来r＆d项目收益应支付的权利金，由于它大于项目期初投资，表明进行r＆d投资是有利可图的。

geske公式的特点基本上与前面对b-s 模型的分析结果一致。比如，波动率和利率必须是常数，这种假设常常使得该模型局限性很大，不符合实际应用，针对这一问题，agliardi elettra和agliardi rossella （2003）对此加以扩展，使得波动率和利率可以是时变函数，我们在后面将对此进行讨论。

4．2．3 数值解法

期权评价模型的数值解主要包括三种方法，蒙特卡罗模拟法、有限差分法、二项式和三项式评价模型。蒙特卡罗法最早由boyle于1977 年提出，适用欧式期权或复杂的报酬情况(平均式或多变量情形)，不太适合美式期权的评价。而有限差分法由schwartz 于1977 年提出，同时适用于欧式与美式期权的评价。

二项式评价模型由cox, ross, and rubinstein 于1979年提出，boyle (1986)对二项式模型进行了改进，提出了三项式模型。但它们具有类似的特点，主要有以下三点：

（1） 可应用于欧式或美式期权问题求解。
（2） 期权价值不会因资产的预期价格变动而不同。
（3） 期权价值不会因资产的风险偏好差异而不同。

另外，它们还可以处理期权标的物价格不服从对数正态分布的问题。

二项式模型的原理是列举实物期权在有效期内标的资产所有可能状态的价值，然后用反向递推方式解决最优决策问题。它的核心是贝尔曼法则，即无论过去的状态和决策如何，对未来的决策所决定的状态而言，未来的决策必须构成最优决策。

二项式模型假定在每一时刻的标的资产价格只有沿着上升或下降两个方向变动，并假定上升或下降的幅度u和d满足以下定义：


三项式模型的原理与二项式模型完全一致，但与二项式模型相比，三项式模型的收敛效果更好一些。

二项式和三项式模型对于处理多阶段投资问题比连续时间模型更为方便。

4．2．4 近似模型
barone-adesi and whaley (1987)利用二次逼近方法联合推出美式期权的近似公式解，简称b-a-w。近似公式通常与数值模拟法得到的值十分接近，本文不拟对它展开进行讨论。不过，需要指出的是，由于实物期权计算过程比较复杂，采用多种模型方法计算，以取得相互验证效果，是一个较好的选择，这或许也是可以体现近似模型的实用价值之处。

5 实物期权在企业r&d投资项目决策中的应用

5．1 实物期权模型计算中的参数确定

在影响实物期权的价值的六个关键变量中，项目价值v、项目价值v的波动率和无风险利率大小往往对项目实物期权价值具有重要的影响，下面我们简要讨论一下它们的确定方法。

（1）波动率 的确定方法
以企业r&d投资项目为例，项目价值是由项目产品成功上市之后的收益现金流的折现值，在研发刚刚开始之际，对未来的预期有着很大的不确定性，因此，试图直接确定其波动率是十分困难的。本文建议采用蒙特卡洛模拟技术来解决这一难题。具体做法是：首先通过决策者或专家的经验估计，对影响项目价值的有关变量，如销售收入，投资，经营成本，项目寿命期、折现率等参数用三点估计法或专家的意见的统计结果，给出上述参数的变化区间和概率分布（如正态分布、均匀分布等），利用随机抽样和计算机上万次以上的模拟计算，便可计算得出项目收益现值和波动率。此时，项目收益现值v和波动率 是同时得出的。

（2）无风险利率r 的确定
在许多文献中，对无风险利率大多是建议采用短期国库券利率，这对计算金融期权是合理的。而对于实物期权的计算而言，由于投资项目的寿命较长，因此，使用短期国库券利率显得不够合理，而采用长期国债利率相对而言，与实物期权的标的资产的寿命期限比较匹配。但在我国的证券市场，由于国债不允许买空卖空，造成市场国债收益率的经常性波动很大，以上证市场010303国债为例，见图5-1所示，仅在2004的上半年中，价格波动幅度就超过了23%，远比同期银行贷款利率的波动率要大的多。 因此，我们认为采用银行贷款利率作为资产组合的无风险利率更为合理，故选择一年期银行贷款利率作为无风险利率。

图5-1 上证市场010303国债的价格变化（2004-1-2 ~ 2004-7-7）

（3）项目收益现值v的确定

在（1）中，我们建议采用蒙特卡洛模拟技术进行分析确定波动率 ，这样，项目的收益现值v与波动率 同时被确定出来。不过，前面我们忽略了一个问题，就是如何选择一个合理的折现率来计算项目的收益现值v？对于采用蒙特卡洛模拟计算技术，这个问题似乎就变得稍微简单了一些：因为此时我们只要确定一个合理的折现率区间就可以了，这要远比确定单一数值的折现率相对容易解决。但是，我们建议仍然首先估计出一个单一数值的折现率，然后再设定变化区间。例如，如果投资项目的风险属于中等风险程度，那么，企业当前的加权资本成本就是一个比较合理的选择。然而由于企业的r&d投资项目一般是属于高风险项目，应当参照相应风险等级的投资项目或资产收益率进行合理确定其数值，然后再根据专家调查或历史数据资料，应用统计分析方法确定出合理的折现率取值区间和分布特征，然后将其作为蒙特卡洛模拟的初始输入，并通过模拟计算得出项目的收益现值v的期望值和波动率 。一旦得出结果，就可以根据波动率 的大小，分析判断初始设定的折现率取值区间是否合理，判断是否需要进行反馈调整，这样，经过若干次反馈叠代试算之后，便可将项目的收益现值v，波动率 和折现率取值区间全部一同确定下来。

由于计算实物期权的参数受到较大的主观因素的影响，因此与常规投资分析类似，对实物期权模型计算结果通常需要进行敏感性分析。并且与传统dcf分析相比，实物期权的评估价值对不确定性更加敏感，因此，敏感性分析对实物期权法突显得更加重要。下面，我们将对一个较完整的r&d投资项目决策案例进行分析讨论。

5．2 应用案例分析

例3． 某企业为开发一种新产品进行一项r&d投资项目，计划在研发阶段初始投入300万元，两年后进行中试再投入1000万元，第四年末再投资1650万元进行市场化开发，将于第五年产品上市并开始取得收益。

根据预测和专家判断，该项目的相关财务参数和收益估计如下：预期该项目产品的寿命为区间数[7，10]年，假定服从均匀分布；项目年销售收入的期望值为3000万元，标准差为600万元，假定服从正态分布, s = n（3000，600）万元；项目年经营成本的估计期望值为500万元，标准差为50万元，假定服从正态分布, co = n（500，50）万元；项目基准折现率取均值为25%，标准差为5%的的正态分布，i = n（25% ，5%）,无风险利率取一年期的银行贷款利率 r = 6%，δ = 0，全部r&d和市场化开发投资按照直线折旧法在项目寿命期内折旧或均匀摊销，期末残值为零。 利用ox软件和以上数据，进行10000次蒙特卡洛模拟运算，得到折现到该项目期初时的期望收益现值为 v0 = 2473万元，下面简称v为项目价值, 波动率 = 27% 。 运用传统的dcf法的npv指标分析， 我们可得：
npv= 2473-350-1000/1.062 – 1650/1.064 = 2473 -2547 = -74万元
npv为负值，表明该项目不可行。

若采用实物期权法分析，此时，m=1650万元，x=1000万元，将相应数据带入复合期权的geske公式，可计算得出项目的复合期权价值为 c(v,0) = 519.4万元。这表明，只须初始投入300万元的研发投资，便可得到519.4万元的价值，即该研发项目包含实物期权在内的npv（项目超额收益价值）=519.4 -350 = 169.4万元。与传统的dcf法的npv指标的结果相比， 两者之差为243.4万元。

采用实物期权法计算之所以得出该项r&d投资具有价值，是因为综合考虑了项目收益的风险，以及拥有可以视市场变化而放弃后面的中试及市场化开发投资的灵活性这一期权的价值。这一分析结果也证实了hayes & garvin 等人的观点：即运用传统的dcf法的npv分析准则会常常低估r&d投资机会的价值，造成企业r&d投资的不足。

如果将本案例的r&d项目投资，分解为更多的阶段，比如，假定中试投资是在每个半年末分四次进行，其投资现金流如表5-1所示：
表5-1 r&d项目投资现金流
t（年）= 0 0．5 1 1．5 2 2．5 3 3．5 4
cft -350 0 0 0 -250 -250 -250 -250 -1650

对于这种情形，geske公式就显得无能为力了。此时，需要采用二项式或三项式期权模型进行计算。

当采用二项式模型时，根据定义，我们有：u=1.2104 , d=0.826 ,p=0.5305

据此可计算得出项目的复合期权价值为c(v,0)=545.2万元，含有实物期权的npv= 545.2 -350 =195.2万元。较前面的计算，增加了复合期权价值 c(v,0) = 545.2-519.4 = 25.8万元。 这表明进一步分散和分阶段投资，可带来更大的灵活性并因此而增加收益。表5-2和表5-3给出了二项式模型的计算结果。

表5-2 各节点的项目价值v(t)的变动


这里，在进一步分散投资之后，运用常规的npv法计算， npv的指标虽有所改善，但仍为负值，说明常规的分析方法仍认为项目不可行。
剩下的问题是，这里的期权价值较高，是否应推迟研发投资呢？这个问题还需要通过敏感性分析来做出回答。

5．3 项目实物期权价值的敏感性分析

对于r&d投资项目，常见的不确定性因素来自于： 波动率 、无风险利率i 和研发到产品上市时间。下面我们分别对此加以分析。

（一）波动率 和无风险利率i 对项目期权价值的变动影响分析

对于上例，可计算出当波动率v 和无风险利率i 变动时，项目期权价值的变化的情况，见表5-4和图5-1。

表5-4 项目期权价值c(v,0)变化的双因素敏感性分析
\ i 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.15 -37% -28% -19% -9% 1%
0.2 -25% -17% -9% 0% 9%
0.25 -12% -5% 3% 11% 19%
0.3 1% 8% 15% 22% 29%
0.35 14% 20% 27% 34% 41%

再由单因素变动分析，可求出当项目价值波动率 减小至7%时，c(v,0) =300， 此时超额收益价值为=0，而当无风险利率i减小至0%时，c(v,0) =311.6万元， 此时含有实物期权的npv=11.60万元。这说明项目期权价值对波动率 更加敏感。

从图1可以看出，项目期权价值随着项目价值波动率 和无风险利率i 的增加而增加。这一结果与以往的研究结果相一致。然而，接下来的问题是：这一结果是必然的内在规律吗？以往的研究结果对此似乎是肯定的，因为可以通过期权的计算公式推倒出这一结论。但本文作者认为，这实际上是一种表面上的假象。


图5-1 项目期权价值的变化的双因素敏感性分析图

讨论1：对于金融买入期权而言，因为vega 和 rho总为正值，意味着当波动率 和无风险利率r增加，期权价值总是增加的。这在一些文献对实物期权的讨论中，经常也出现类似的情形，就像前面的数值结果和图5-1所示的那样，这似乎看来是一种必然的联系结果，但实际上是被掩盖起来的假象。

实际上，对于投资项目而言，实物期权的标的资产是项目的预期收益，而这些发生在将来的收益是以折现至投资开始的那一年年初的折现现值来表示的，当投资决策发生延迟，项目的预期收益也随之发生了延迟，这意味着其现值将会减少。一些作者如前面已经提到的perlitz , peske & schrank等人建议在实物期权模型中采用无风险利率将项目预期收益将其从期权到期日折现至期权的持有期初，其结果导致了项目投资期权价值的增加。如果对这一点加以分析，就可以发现这其中的可以商榷之处。 我们知道财务学中的一个基本原则，就是现金流的折现率大小应与现金流的风险程度必须相匹配。对于投资项目而言，项目的收益往往比项目的投资具有更大的不确定性和风险，这是因为项目的投资距离决策的时间较近，因此可以比较准确地进行估计，或者可以近似看作是确定性的；而项目的收益则是将来发生的，这一将来的时点延续愈长，就具有更大的不确定性和风险。 在实物期权的计算中，对项目投资是用无风险利率进行折现的（含在期权的计算公式之内），根据上述我们的分析，这一点相对比较合理；而对项目的收益如果也采用无风险利率进行折现就显得不够合理了。由于我们在r&d项目投资的实物期权模型构模中，一般都是将期权的到期日设定为项目的市场化投资的发生之时，因此，实物期权模型并未将项目的运营期包括运营期间的决策活动包括在内。因此，用于分析r&d项目投资决策的实物期权模型并不能对项目运营活动期间所存在着经营灵活性的实物期权进行考虑和价值评估。这样尽管我们能够意识到它的经营灵活性的实物期权存在，这在前面的分析中也提到了，但在这里根据我们目前的模型设定，随着项目的收益波动率 和风险的增大，必须采用不同与无风险利率的折现率对投资项目收益进行折现。

那么，在期权有效期内是否可以采用无风险利率对项目收益进行折现呢？我们的回答同样是否定的。因为，尽管在期权有效期内，对项目投资通过实物期权模型构造了一个无风险证券组合，但实际上，项目投资的实物期权模型与金融期权之间的一个很大的不同在于，实物期权并没有实际交易发生，项目的实物投资与金融资产相比是严重缺乏流动性的，加之正像我们前面已经提到的，对项目价值起着决定性作用的项目收益是发生在所构造的期权有效期之外，因此，没有任何管理手段对其进行操控。就r&d项目而言，开发周期愈长，即期权到期日愈长，就意味着未来的市场和收益具有更大的风险，忽视这一风险，采用无风险利率对项目收益进行折现显然是不合理的。因此，在项目的研究开发期间以及由于研发障碍可能产生的延迟这一期间内，对项目收益现值也不应当采用无风险利率，而是采用与项目的收益风险相对应的风险报酬率进行折现。这样以来，随着项目的收益波动率 的增大，意味着项目的收益的风险增大，在不考虑企业经营活动灵活性期权的条件下（实际上是无法考虑），对项目的收益现值需要采用对应的更高的风险利率进行折现。这样，必然会导致项目的收益现值v的降低。

同理，根据capm，风险折现率等于无风险利率加上风险溢价，当无风险利率增加，在相同风险水平条件下，风险折现率也随之增加，于是便也同样导致降低项目的收益现值v。

因此，项目期权价值便成为了两个作用力互为相反的作用结果：一方面由于波动率 和无风险利率r增加，使得期权价值增加；另一方面，由于风险折现率的增大（往往需要人工调整），使项目的收益现值v减小，对于r&d项目一类的买入期权而言，由于delta 总是为正，故v的减小必然导致期权价值减小。最终结果的项目期权价值究竟向何方变化，则取决于它们双方各自弹性的大小。不过，由于风险折现率是由人工外生给定的，因此几乎可以肯定，原来对金融期权成立的定律在实物期权中很有可能会发生失效。

根据以上的分析，我们需要对表5-4 中项目期权价值的变化的双因素敏感性分析结果增加一项注解，即：当假定当项目的收益现值（初始值）不变的条件下，项目实物期权价值随着项目价值波动率 和无风险利率i 的增大而增加。然而，正如我们已经指出的，这一假定条件并不一定合理和符合逻辑。

（二）研发成功时间变动对项目期权价值的影响分析

为了分析研发到产品上市时间的变化影响，我们考虑以下四类情形，并采用连续时间的geske公式进行分析：

（1） 研发提前完成：在本例中，我们假定研发提前1年完成，中试阶段按计划2年完成， 即在第3年进行市场化开发：此时项目产品提前一年上市，其结果为：项目价值v0 = 3091.4万元； 项目期权价值 c(v,0) =829.6万元，含有实物期权的npv = 479.6万元；
（2）研发延期完成： 在本例中，我们假定研发延期1年完成，中试阶段按计划2年完成，即在第5年进行市场化开发。
此时，项目产品延期一年上市，其结果为：项目价值v0 = 1978.5万元； 项目期权价值 c(v,0) =337.9 万元，此时含有实物期权的npv = -12.1万元，项目价值出现小额亏损；
（3） 中试提前完成： 在本例中，我们假定研发正常完成，而中试提前1年完成，即在第3年时进行市场化开发。此时，
项目价值v0 = 3091.4万元； 项目期权价值 c(v,0) =944万元 ，减去初始投资350万元后，得出含有实物期权的npv = 594万元；
（4） 中试延期完成： 在本例中，我们假定研发正常完成，而中试延期1年完成，即在第5年进行市场化开发。

此时，项目产品延期一年上市，项目价值v0 = 1978.5万元； 项目期权价值 c(v,0) =256.3 万元 得出含有实物期权的npv = -93.7万元，项目价值出现大额亏损；

对以上四类情形进行比较，不难发现，产品上市时间对r&d项目而言具有至关重要的影响：产品提前上市可以提高项目价值；产品延期上市则会降低项目价值，并且由于中试阶段投资较大，其完成时间较研发阶段完成时间对项目价值具有更大的影响。

讨论2：对于单一金融期权而言，比如对ｂ-ｓ模型，因theta总是为负，因此伴随期权到期期限t-t的增加，期权价值总是增加的。这对于复合期权模型也同样成立：即随着t或τ的延长，期权价值将增加。这可通过对期权的求导结果即可得到证明：


然而，本例上述的实际分析结果表明，这却并非成立。从理论上，当研发或中试提前完成，因而导致可以提前进行市场化开发，这意味着市场化开发期权的提前执行，即到期期限t缩短。这对金融期权而言，根据前面的分析，期权价值应当减小；而这里项目的实物期权价值却不但没有减少，反而增加了。实际上，这不难发现其中的原因是在于：由于产品的提前上市，项目收益提前，因此增大了项目的收益现值：在本例中，项目期望收益现值从v0 = 2473万元 增大到v0 = 3091.4万元，增加了618.4万元，因而导致了项目期权价值从c(v,0)=519.4万元，增大到c(v,0) =829.6万元，增加了310.2万元。

同理，当研发或中试延期完成，导致必须延迟进行市场化开发，因而导致产品的延迟上市，项目收益推迟，于是便降低了项目的收益现值。其结果是随着到期期限t的延长，即市场化开发期权的延期执行，项目期权价值反而减少了。

以上的讨论分析表明，以研发项目为例的实物期权由于问题构模的特点，一些来自金融期权定理可能会出现失效。根据我们以上的实例分析，不难发现其中的一个根本原因在于：在金融期权的计算中，其标的资产（股票）价格是确定已知的；而在研发投资项目的实物期权计算中，其标的资产（未来收益现金流的现值）的价格是未知和可变的，并随着风险和利率的增加，产品上市时间的推迟，标的资产价值发生了减小。

这里关于时间变动的数值分析，与波动率 和无风险利率的变动问题在性质上几乎是完全相同的。使得金融期权中的定理在实物期权中失效的原因，在于项目期望收益现值v0发生了变化。

5．4 研发过程中的随机突发因素对r&d项目实物期权价值的影响分析

r&d过程伴随着大量的不确定性和风险，尤其是从研发开始现在到中试这段期间里，会发生各种的小概率的意外事件，比如，某项非关键性的设想被证明不成立，经济环境的变化、政策的因素、某项研发中间技术的外泄，某项替代技术或产品在市场上出现或来自于竞争对手的相关研发项目的成功等等， 这些都会影响到r&d项目的价值。一些资料显示大部分金融资产的经验回报分布都显示出很大的不同，这部分可能是由于小的概率事件发生的可能性比原先假定的正态分布要高。忽略了这些小概率事件的存在，便会低估了不确定性，从而会影响到期权的价值评估，对项目决策产生不利影响。

penning and lint(1997)基于跳跃过程对b-s-m模型进行了扩展，使得期权价格评估更好地适合r&d项目过程的特点，但他们的论文未考虑复合期权，这里，我们对此加以扩展。


为了便于分析r&d项目的实物期权模型参数的变化影响，我们有时需要考察 期权到期期间，波动率、无风险利率和期权持有成本为时变函数的情形。下面的定理为我们提供了有效的手段。

定理1： 我们假定期权到期期间t，波动率 、无风险利率r和期权持有成本δ均为时变函数，这时，上述四种复合期权存在一个类似geske 公式解的扩展公式解，其通解表达形式如下：


证明：
对买权的买权，η=1，φ=1，且当δ=0 时，agliardi elettra 等人（2003）已经给除了证明；在其他情形，公式的证明可仿照agliardi elettra 等人的思路，以类似推导过程得出，这里从略。
利用定理1的公式结果，我们在上面的例3中，进一步假定在整个研发和中试期间，波动率和无风险利率均分别是随时间均匀递减的，并且： =0.27 - 0.03t, r = 0.06-0.01t, 　δ(t) = 0。将其代入上述模型，则可计算得出该r&d项目实物期权价值为 c(v,0) =408.5万元。

这里与前面的分析相类似，表面上似乎看起来，随着波动率和无风险利率的降低，项目实物期权的价值也减小了，具有与金融期权同样的性质；但如果我们注意到，根据我们的假定，在项目实物期权到期t = 4时刻(产品开始生产和销售)， 波动率和无风险利率应分别降低至 =15%和r = 2%，这显然与我们前面运用蒙特卡罗模拟计算项目收益现值时采用的风险估计相去甚远，因此必须要进行重新调整参数，并重新进行项目收益现值的蒙特卡罗模拟计算：

参数调整的依据是：在项目投产之后的寿命期内，应当符合实物期权计算中的参数设定，即 =15% 和 r = 2%。椐此，我们对项目收益现值模拟计算的参数进行了调整，调整后的参数结果为：项目产品的寿命仍选取区间数[7，10]年不变，项目年销售收入调整为 s = n（3000，360）万元，项目年经营成本调整为co ＝n（500，50）万元，项目基准折现率取均值15%，标准差为2%的的正态分布，i＝ n（15% ，2%）,　无风险利率为r = 2%，其它参数及假定维持不变。

利用调整后的数据，运用ox 软件进行10000次蒙特卡洛模拟仿真运算，得出该项目的期望收益现值为 v0 = 3994.2万元，波动率 = 15.3%。我们发现，期望收益现值v0 比原来有了很大的增加，而波动率 基本上符合我们15%的设定。

再将v0 = 3994.2万元重新代入求解复合期权的时变模型公式进行求解，则计算得出：此时的项目实物期权价值为 c(v,0) =1708.2万元。这一结果说明项目实物期权价值是增加的，正与我们前面讨论的看法相符合。

6．结论

本文对过去几十年来实物期权方法应用研究进行了回顾和总结，指出了在当前实物期权方法在应用中出现的一些模糊概念和误用的问题，并通过一些实例对这些问题进行了分析和讨论。指出由于问题构模及参数定义上的差异，一些对于金融期权成立的定理，如当波动率增加、无风险利率增大或期权期限延长时，期权价值是增加的，这对于实物期权并非总是成立。尤其是当实物期权应用于企业的r&d项目投资决策问题，其结论恰恰是相反。从而对一些现有的文献似是而非的观点和结论提出了否定。指出：造成实物期权与金融期权之间存在差异的根本原因在于：在金融期权的评估中，其标的资产（股票）初始价格是确定已知的，而在r&d投资项目的实物期权评估中，其标的资产（未来收益现金流）的初始价值是未知与可变的，并随着风险和利率的增加，标的资产价值会发生减小。

本文以实物期权在企业r&d投资项目中的应用为例，对实物期权的构模和参数选择等问题进行了详细的讨论和分析。并在对penning and lint（1997）及agliardi elettra（2003）等人的结果扩展的基础上，给出了当波动率、无风险利率和期权持有成本为时变函数的条件下四种复合期权的解析解，并利用数值计算结果证实了作者提出的观点。

与金融期权的评价相比，实物期权的评价和求解更加复杂和困难。本文关于企业r&d投资项目的实物期权模型分析，仅考虑了投资期间的管理弹性，而对产品上市后的经营管理弹性未做考虑，因此，所得出的实物期权的评价结果仍是整个项目实物期权的一个下界值，如何将r&d投资项目产品上市后期的经营管理弹性与投资期间的管理弹性进行总体考虑，是进一步需要研究的课题。

致谢：本文中的数值计算应用了ox教育免费软件编程，在此对英国j. a. doornik先生的贡献表示感谢。

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