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[本科非医学可以考公卫医师]公卫医师医学统计学辅导：正态分布及其性质

复习指导 2022-03-24 网络整理 可可

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正态分布及其性质 　　一群变量值可能用平均数描述集中的位置，用变异指标描述离散情况，而频数表则把变量值的分布描绘得更具体。为了直观还可把频数表画成直方图。如第四章中曾将7岁男童坐高的频数分布绘成图4.1。从图中可看出数据集中均数周围，左右基本对称，离均数愈近数据愈多，离均数愈远数据愈少的特点。医学科研中如健康人的红细胞数、血红蛋白量、血清总胆固醇，同年龄同性别儿童的身高、体重等，虽然数据各异，但画出的直方图图形是类似的。可以设想，这种类型的资料，如果调查例数无限增多，所用组距又无限的小，那么直方顶端就连成了一条光滑的曲线。这条曲线，典型地反映了这类资料的分布情况，数学上称为正态曲线，其方程为来源：

　　式中n为总频数，x为变量值，μ为均数，σ为标准差，y为纵高，e=2.71828……，π=3.14158……。在一个总体中n、μ、σ、e、π都是常数，只有x在变，所以y=f(x)。来源：

式(5.1)亦可写成：

　　由上式可看出曲线的性质：

　　1.曲线左右对称。x-μ无论是正或负，只要绝对值就相等，y值就相等。所以只要x与μ的距离相等，y就相等。y值以x=μ为对称轴。来源：

　　2.中位数、均数、众数重合。正态曲线在横轴上方。当x=μ时，e0=1，y为极大，所以均数与众数密合。由于曲线左右对称，所以均数亦即中位数。e的指数愈大，y愈小，但不会得负值，所以y>0，曲线在横轴上方。

　　3.随着(x-μ/σ)的绝对值的增加，曲线由平均数所在点向左右两方迅速下降。来源：

　　4.离平均数左右1σ处为曲线拐点。在μ±σ以内曲线向下弯曲，以外则向上弯曲。

　　这种类型的资料，数据值虽各不相同，但都有其均数与标准差，如果横轴上各以其均数为原点，标准差为单位，并令x=x-μ，那么(x-μ)/σ可写成x/σ，称为正态离差u，

(5.2)

　　再令总频数为1。 这时曲线以μ为原点，以σ为单位，称为标准正态曲线，其公式为

(5.3)

　　以μ为均数，σ2为方差的正态分布可记为n(μ，σ2)，因此标准正态分布可记为n(0，1)。 来源：

图5.2 标准正态曲线 来源：



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